統計学：二項分布とポアソン分布の特性について説明してください。

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Answer
二項分布は、n個の独立した試行があり、各試行が成功する確率がpであるとき、k個の成功が得られる確率を表す離散確率分布です。以下にその特性を示します。

1. 確率質量関数は、以下の式で表されます。
P(X=k) = (nCk)p^k(1-p)^(n-k)

2. 平均値は、npであり、分散は、np(1-p)です。

3. 分布の形は、nが大きく、pが小さい場合には右に偏った形になり、nが小さく、pが大きい場合には左に偏った形になります。

ポアソン分布は、単位時間あたりに平均λ回起こる事象が、ある期間にk回起こる確率を表す離散確率分布です。以下にその特性を示します。

1. 確率質量関数は、以下の式で表されます。
P(X=k) = (e^(-λ)*λ^k)/k!

2. 平均値は、λであり、分散もλです。

3. 分布の形は、λが大きくなるにつれて正規分布に近くなっていきます。

二項分布は、成功回数が決まっている場合に使用され、ポアソン分布は、単位時間あたりの平均事象発生回数が決まっている場合に使用されます。また、ポアソン分布は、稀な事象が起こる確率を求める場合にも有用です。